คำศัพท์เกี่ยวกับคณิตศาสตร์

1 ใน 4  quarter
2 เท่า   doubles
2 มิติ    2-dimensional (2-D)
3 มิติ    3-dimensional (3-D)
เขียนเป็นสมการ  write an equation

เขียนในรูปการคูณของจำนวนเฉพาะ  prime factorization
เครื่องคิดเลข   calculator
เครื่องหมายมากกว่า    greater than
เซตของ x ในความสัมพันธ์หรือฟังก์ชั่น   domain
เซตของ y ในความสัมพันธ์หรือฟังก์ชั่น   range

เซตคำตอบ solution set
เซนติเมตร centimeter (cm)
เซลเซียส Celsius
เดา guess
เท่า times

เท่ากัน, เทียบเท่ากัน equivalent 
เท่ากับ  equal (=)
เป็นสามเท่า  triple
เป็นสี่เท่า quadruple
เปรียบเทียบ compare

เปอร์เซ็นต์ percent
เมตร meter (m)
เรขาคณิต Geometry
เลขที่ถูกคูณ multiplicand
เวลา, เท่า time

เวลาที่ผ่านไป elapsed time
เศษจากการหาร remainder
เศษส่วน fraction
เศษส่วนแท้, เศษส่วนที่มีเศษน้อยกว่าส่วนproper fraction 
เศษส่วนไม่แท้, เศษเกิน improper fraction 

เศษส่วนต่อเนื่อง fraction continued 
เศษส่วนทศนิยม decimal fraction 
เศษส่วนที่เท่ากัน equivalent fractions 
เศษส่วนย่อย partial fraction 
เศษส่วนร่วม common fraction 

เศษส่วนสามัญ common fraction 
เศษส่วนอย่างต่ำ simplest form
เส้น line
เส้นแกน axis
เส้นแนวนอน horizon line

เส้นกำกับ asymptote
เส้นขนาน parallel lines
เส้นคอร์ด chord
เส้นจำนวน number line
เส้นตั้งฉาก perpendicular

เส้นทแยงมุม diagonal
เส้นที่ตัดกัน intersecting line
เส้นประ dashed line
เส้นประแบบเป็นจุด dotted line
เส้นผ่านศูนย์กลาง diameter

4.ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียกb ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซตA และ b เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์      ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต Aและเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า 

ความสัมพันธ์ (Relation)r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B

โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)

1. โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย Dr ดังนั้น  Dr = {x | (x, y) ε r}
2.  เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R rดังนั้น  Rr= {y | (x, y) ε r}

หลักเกณฑ์ในการพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ในความสัมพันธ์ r

ลักษณะของความสัมพันธ์	วิธีหาโดเมน	วิธีหาเรนจ์
เซตแบบแจกแจงสมาชิก	พิจารณาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r	พิจารณาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r
เซตแบบบอกเงื่อนไข	เปลี่ยนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกแล้วพิจารณาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์r พิจารณารูปแบบของเงื่อนไขแล้วจัด y ให้อยู่ในรูป x แล้วหาค่า x ที่ทำให้y เป็นจริงตามเงื่อนไข เปลี่ยนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกแล้วพิจารณาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์r พิจารณารูปแบบของเงื่อนไขแล้วจัด x ให้อยู่ในรูป y แล้วหาค่า y ที่ทำให้x เป็นจริงตามเงื่อนไข
กราฟ	พิจารณาค่าของ xทั้งหมดบนแกน X ที่ใช้ในการเขียนกราฟ	พิจารณาค่าของ y ทั้งหมดบนแกน Y ที่ใช้ในการเขียนกราฟ

ตัวผกผันของความสัมพันธ์ (Inverse of Relation)อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r

สัญลักษณ์         อินเวอร์สของความสัมพันธ์ rเขียนแทนด้วย r-1
เขียน r-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้ r-1 = {(x, y) | (y, x) ε r}
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

ฟังก์ชันขั้นบันได

ฟังก์ชัน (Function)  คือ  ความสัมพันธ์  ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น  ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว  สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกัน
หรือฟังก์ชัน  คือ  ความสัมพันธ์  ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น  ถ้าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย

นั่นคือ   ความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y1) ε f และ (x, y2) ε f แล้ว  y1 = y2

ถ้าหากว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบบอกเงื่อนไข  การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่สามารถทำได้กลายวิธี  ดังต่อไปนี้

วิธีที่  1      ถ้า  r  เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ  (x, y)  และมีเงื่อนไข  r(x, y)  แล้ว  ให้นำเงื่อนไข  r(x, y)  มาเขียนใหม่โดยเขียน y ในรูปของx และพิจารณาดังนี้
1)  ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว  สรุปว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า  สรุปว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่  2      เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ r ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข  r(x, y)
สมมติให้ (x, y) ε r และ (x, z) ε r  ดังนั้นจะได้เงื่อนไข  r(x, y)  และ  r(x, z) พิจารณา
1)  ถ้าสามารถแสดงได้ว่า  y = z จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ากรณีที่มี  y ε z  จะได้ว่า  r  ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่  3       โดยใช้กราฟ
กำหนดกราฟความสัมพันธ์ r ให้ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์r พิจารณา
1)  ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นตัดกราฟของ r ได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ามีเส้นตรงบางเส้นตัดกราฟของ r มากกว่าหนึ่งจุด  จะได้ว่า r จะไม่เป็นฟังก์ชัน

กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เรามีข้อตกลงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์ ดังนี้

(x, y) ε R  จะเขียนแทนด้วย y = f(x)

เรียก f(x) ว่าค่าของฟังก์ชัน f  ที่ x หรือเรียกว่าภาพฉาย (image) ของ x ภายใต้ฟังก์ชัน f

อ่าน f(x) ว่า เอฟของเอ็กซ์ หรือ เอฟที่เอ็กซ์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เอฟเอ็กซ์

เราจะพบการใช้สัญลักษณ์เกี่ยวกับฟังก์ชันอยู่ 2 ลักษณะที่สำคัญคือ การเขียน f และ f(x) ซึ่งมีความแตกต่างและการนำไปใช้ดังนี้

1)      การเขียน f จะเป็นการกำหนดชื่อฟังก์ชัน (คล้ายการกำหนดชื่อเซต) เช่น กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เป็นต้น การเขียน f จะเขียนในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก หรือว่าเซตแบบบอกเงื่อนไขก็ได้ เช่น          f = {(2, 5), (3, 7), (4, 9)}           หรือ     f = {(x, y) | y = 2x + 1}          เป็นต้น

2)      การเขียน f(x) จะเป็นการนิยามฟังก์ชัน f ว่ามีเงื่อนไข หรือลักษณะอย่างไร กำหนดให้เป็นอย่างไร มักเขียนในรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (ประโยคสัญลักษณ์) แสดงความสัมพันธ์ตั้งแต่ 2 ตัวแปรขึ้นไป และมักเขียนในรูปสมการ เช่น f(x) = 2x + 1 หรือบางครั้งอาจเขียน y = 2x + 1 ให้เข้ใจว่า การนิยามฟังก์ชัน f จะเขียนให้อยู่ในรูป y = f(x)

ดังนั้น นักรเยนจะพบเสมอว่า ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยทั่วไป มักจะขึ้นต้นในทำนองว่า “กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามว่า f(x) = …”  เป็นต้น

ดังนี้แล้ว พึงระลึกถึงและนำไปใช้ให้ถูกต้องด้วยความเคร่งครัดและระมัดระวัง

2. การให้เหตุผล

สรุปสมเหตุสมผลโดยการวาดแผนภาพ

การตรวจสอบว่าข้อสรุปสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นสามารถตรวจสอบได้หลายวิธี เช่น การวาดแผนภาพ
- ถ้าแผนภาพที่วาดกรณีที่เป็นไปได้ทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนด จึงกล่าวว่าการสรุปผลสมเหตุสมผล
- แต่ถ้ามีแผนภาพที่ไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ การสรุปผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่างข้อความและแผนภาพที่แสดงความหมาย

หมายเหตุ ในการแสดงว่าผลสรุปนั้นไม่สมเหตุสมผลเราไม่จำเป็นต้องวาดแผนภาพทั้งหมดทุกกรณี อาจ
ยกตัวอย่างแผนภาพที่แสดงว่าข้อสรุปนั้นไม่สมเหตุสมผลเพียงกรณีเดียวก็พอ