วันพุธที่ 11 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2558

3. จำนวนจริง

จำนวนจริง
4.1จำนวนจริง
เซตของจำนวนจริงประกอบด้วยสับเซตที่สำคัญ  ได้แก่
- เซตของจำนวนนับ/ เซตของจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วย  I
                   I = {1,2,3…}
เซตของจำนวนเต็มลบ  เขียนแทนด้วย  I
เซตของจำนวนเต็ม เขียนแทนด้วย I
                   I = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3…}
เซตของจำนวนตรรกยะ เซตของจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วน      โดยที่ a,เป็นจำนวนเต็ม และ b = 0

NOTE
จำนวนต่อไปนี้เป็น จำนวนตรรกยะ
1.            จำนวนเต็ม ได้แก่ 0,1,-1,2,-2,3,-3,...
2.            จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มและตัวส่วนไม่เป็นศูนย์  เช่น
3.            จำนวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น 1.414 , -0.17 , 1.508

เซตของจำนวนอตรรกยะ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรยะ ซึ่งไม่สมารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ แต่สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ และสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้
         ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะ
                   = 1.4142135…   มีค่าประมาณ    1.414
                   = 1.4422495…   มีค่าประมาณ    1.442
                   = -0.8660254…  มีค่าประมาณ    -0.866
                   = 3.14159265…  มีค่าประมาณ    3.1416
NOTE
   ยูเนียรของเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะเรียกว่า  “ เซตของจำนวนจริง” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  R
   จำนวนอีกประเภทหนึ่งที่ได้จากการแก้สมการx = -1 ซึ่งบอกไม่ได้ว่ามากกว่าศูนย์หรือน้อยกว่าศูนย์  จำนวนพวกนี้ไม่ใช่จำนวนจริง
   ยูเนียรของเซตของจำนวและเซตจำนวนจริงชนิดใหม่เรียกว่า เซตจำนวนเชิงซ้อน

4.2 สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ
    1) สมบัตของการเท่ากันในระบบจำนวนจริง
         เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
(1)      สมบัติการสะท้อน a = a
(2)      สมบัติการสมมตรา ถ้า a = a แล้วb = c
(3)      สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = aและb = c แล้ว a = c
(4)      สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a = b แล้ว a+c = b+ c
         (5) สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน
              ถ้า  a =  b แล้ว ac = bc
2) สมบัติการบวกและการคูณจำนวนจริง
            ถ้า a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมบัติ
การบวก
การคูณ
ปิด
 a+b €   Rab  €   R
การสลับที่
a+ b = b+aab = ba
การเปลี่ยนหมู่
(a+b)+c = a+(b+c)(ab)= a(bc)
การมีเอกลักษณ์
มีจำวนจริง 0 ซึ่ง0+a = a= a+0มีจำนวนจ1 a = a= a  1 ริงซึ่ง 1 ซึ่ง
เรียก 0ว่าเอกลักษณ์เรียก 1 ว่าเอกลักษณ์
การมีอินเวอร์ส
สำหรับจำนวนจริงaจะมีจำนวนจริง –a  โดยที่ (-a)+a = 0 = a+(-a) เรียก –a ว่าอินเวอร์ส การบวกจำนวนจริงของaเรียก 1 ว่าเอกลักษณ์การคูณสำหรับจำนวนจริงa ที่ a   0
จะมีจำนวนจริง โดยที่ a
a = 1 = a   a  เรียกa  ว่าอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริงa    
การแจกแจง
A(a+b= ab+ac


ทฤษฎีบท 1 กฎการตัดออกสำหรับการบวก
                   เมื่อ ,เป็นจำนวนจริงใดๆ
(1)      ถ้า a+b = b+c แล้ว = b
(2)       ถ้า a+b = a+c แล้ว b = c


ทฤษฎีบท 2 กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
                   เมื่อ ,b, c เป้นจำนวนจริงใดๆ
(1)      ถ้า ac = bc และ  0 แล้ว a = b
(2)      ถ้า ab = ac และ  0 แล้ว b = c

ทฤษฎีบท 3
                    เมื่อ เป็นจำนวนจริงใด ๆ  a •  0 = 0

ทฤษฎีบท 4
                   เมื่อ เป็นจำนวนจริงใดๆ (-1) a = -a
ทฤษฎีบท 5
                   เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใด ๆ  ถ้า ab = 0แล้ว
                   a = 0 หรือ  b = 0

ทฤษฎีบท 6
                   เมื่อ a b เป็นจำนวนจริงใดๆ
1.            (-b)  = -ab
2.             (-a)b =  -ab
3.            (-a)(-b) =  ab
   
การลบและการหารจำนวนจริง

บทนิยาม
                   เมื่อ a b เป็นจำนวนจริงใดๆ
                   a-b = a+(-b)

ทฤษฎีบท 7
                   ถ้า ,,ป็นจำนวนจริงแล้ว
                   1. (b-c)   =  ab – ac
                   2. (a-b)c    =  ac – bc
                   3. (-a)(b-c)  =  -ab + ac

บทนิยาม
                   เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่  b = 0
                                                = a( b )

ทฤษฎีบท 8
                   ถ้า  0 จะได้  a   0

ทฤษฎีบท 9
                 1.                        =                                      เมื่อ ,c = 0
1.                                                                         =                                        เมื่อ c = 0
2.                                                                         =                                        เมื่อb, d =0
3.                                                                         =                                        เมื่อ bd = 0
4.                                                                          =                                       เมื่อ c = 0
5.                                                                         =                                        เมื่อ c = 0

6.                                                                         =                                        เมื่อ c,d = 0

4.3 การนำสมบัติของจำนวนจริงไปใช้ในการแก้สมการกำลังสอง
ตัวแปร    :  อักษรภาษาอังกฤษตัวเล็ก เช่นที่ใช้เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวน
ค่าคงตัว  :  ตัวเลขที่แททนจำนวน เช่น 1, 2
นิพจน์    :  ข้อความในรูปสัญลักษณื เช่น 2, 3x  ,x-8 ,
เอกนาม  :  นิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่มีเลขชี้                 กำลังของตัวแปรเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ เช่น -3, 5xy , 2y
พหุนาม :  นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปของเอกนาม หรือการบวกเอกนามตั้งแต่สองเอก   นามขึ้นไป เช่น 3, 5x+15xy+10x+5
ดีกรีของเอกนาม ดีกรีสูงสุดของเอกนามในพหุนามนั้น เช่น x+2xy+1 เป็นพหุนามดีกรี 3

4.3.1การแยกตัวประกอบของพหุนาม
         พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax + bx +c = 0 เมื่อค่าคงตัวที่  0 และ เป็นตัวแปร
การแยกตัวประกอบของ x +bx +c = 0เมื่อ เป็นค่าคงตัวที่ c = 0
ทำได้โดยการาจำนวน และ ที่ de = cและ d+c = b ทำให้ x +bx + c = (x+d)(x+c)

เช่น  จงแยกตัวประกอบของ x +7x + 12
         จัดพหุนามให้อยู่ในรูป x +(d+e)x+de
         นั้นคือ หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ 10 และบวกกันได้ 7
         ซึ่งก็คือ 5 และ 2
         จะได้ (5)(2) 10 และ5+2 = 7
         ดั้งนั้น x+7x+10= (x+5) (x+2)

NOTE
ในกรณ๊ทั่วไป x – a = (x-a)(x+a) เมื่อ เป็นค่าคงตัวที่  0

การแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปax +bx +c เมื่อ ab , , เป็นค่าคงตัว และ  0 , 0
เช่น 4x-4x+1 ทำได้ดังนี้
1) หาพหุนามดีกรีหนึ่งพหุนามที่คูณกันได้ 4มี(2x)(2x)หรือ (4x)(x) เขียนสองพหุนามที่ได้ให้เป็นพจน์หน้าของผลคูณของพหุนามใหม่ดังนี้
                   (2x   )(2x  )หรือ(4x  )(x   )
2.)หาจำนวน 2 จำนวนที่คูณกันได้ 1 ซึ่งได้แก่ (1)(1) หรือ (-1)(-1) เขียนจำนวนทั้งสองเป็นพจน์หลังของพหุนามในข้อ 1) ดังนี้
                   (2x+1)(2x+1) หรือ (4x+1)(x+1)
                   (2x-1)(2x-1)            (4x-1)(x-1)
3)หาพจน์กลางของพหุนามจากผลคูณของพหุนามแต่ละคู่ในข้อ 2 ) ที่มีผลบวกเท่ากับ -4x จะได้



                             - 2x
     
จากผลคูณ  ( 2x -1  )( 2x-1) ได้พจน์กลางเท่ากับ -4x

                            -2x
ดั้งนัน พหุนาม 4x -4x-1 = (2x-1)(2x-1)=(2x-1)

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
         กำลังสองสมบูรณ์ พหุนามดีกรีสองสมบูรณ์ที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน เช่น
         x+2ax+4 = (x+2)(x+2) (x+2)
         x-4x+4 = (x-2)(x-2) = (x-2)
         ในกรณีทั่วไปพหุนามดีกรีกำลังสองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบได้ดังนี้
          x-2ax+a = (x-a)
         x+6x+9 = (x+3)
         x-2ax+a = (x-2)
         x-8x+16 = (x-4)
การแยกตัวประกอบโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์
         พหุนาม x+bx+c เช่น x+2x-5 ทำให้เป็นกำลังสองสมบรูณ์ดังนี้
          X+2x-5     =    ( x+2x)-5
                            =   (x+2x+1)-5-1
                            =   (x+1) -6
ดั้งนั้น   x+2x-5   = (x+1)-6
จาก     x-a           = (x-a)(x+a)
จะได้ (x+1)-6     ((x+1)-  6  )((x+1)+ 6  )
4.3.2 การแก้สมการกำลังสองสมบูณณ์
         การแก้สมการหรือการหาคำตอบของสมการสองตัวแปรเดียว  การหาคำตอบของสมการที่เขียนอยู่ในรูปax+bx+c = 0 เมื่อ  b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0 ทำได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับจำนวนจริง ดังนี้
ถ้า a และ เป็นจำนวนจริง และab = 0แล้ว a = 0”
การหาคำตอบของสมการ การหาจำนวนที่นำไปแทน ในสมการแล้วได้สมการที่เป็นจริง
-                   การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีการแยกตัวประกอบ
เช่น แยกตัวประกอบของ x-4x+3 = 0
วิธีทำ   แยกตัวประกอบของ x-4x+3
            จะได้ (x-3)(x-1)
            หาคำตอบของสมการ (x-3)(x-1)= 0
            โดยหา ที่ทำให้ x-3 = 0 หรือx-1= 0
             นั่นคือ                x= 0 หรือ x= 1
ตรวจคำตอบ     โดยแทนค่า ในการ x-4x+3 = 0 ด้วย 1หรือ 3
เมื่อแทนค่า x  ด้วย 1 จะได้
                   (1)-4 (1)+3 = 0               ซึ่งเป็นจริง
เมื่อแทนค่า ด้วย 3 จะได้
                   (3)-4(3)+3 = 0                 ซึ่งเป็นจริง
ดังนั้น 1 และ3 เป็นคำตอบของสมการ x -4x+3 =0


- การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

x =                                    เมื่อ a = 0 และ b -4ac 0
 

NOTE
สมการกำลังสอง ax +bx+c = 0 เมื่อ a b c เป็นค่าคงตัว และ a = 0
มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง 2 คำตอบ  เมื่อb -4ac  0
มีคำตอบที่เป็นจำนวน 1 คำตอบ        เมื่อb -4ac = 0
ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง             เมื่อb -4ac    0










เช่น 1. จงหาคำตอบของสมการ 3x-11 = 0
    วิธีทำ  เมื่อเทียบกับสมการ ax+bx+c = 0
              จะได้ a =3b= 0 c = 0
               B -4ac = 0 -4(3)(-11) = 132
              จาก x =

                จะได้ x =
              นั้นคือ
               และ                ป็นคำตอบของสมการ


4.4 การไม่เท่ากัน
    การเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวนว่ามากกว่าหรือน้อยกว่าได้ โดยเขียนอยู่ในรูปประโยคสัญลักษณ์ เช่น แทนจำนวนเต็ม
      n >  5 หมายถึง จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มากกว่า 5 เช่น 6 ,7 ,8 ,...
       1  หมายถึง จำวนเต็มทุกจำนวนที่น้อยกว่าหรือเทท่ากับ 1 เช่น 1  ,0 ,-1 ,-2, ...
     n = 4 หมายถึง จำนวนทุกจำนวนที่ไม่เท่ากับ 4 เช่น ... ,- 2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,5 ,6 ,...


อสมการ ประโยคที่มีสัญาลักษณ์                          หรือ =  แสดงการเปรียบเทียบจำนวนสองจำนวน
คำตอบของอสมการ จำนวนที่แทนตัวแปรได้อสมการที่เป็นจริง


เซตคำตอบของอสมการ การหาคำตอบของอสมการ โดยอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากัน
1)           สมบัติของการไม่เท่ากันในระบบจำนวนจริง
ให้ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
(1) สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a   b และ b  c  แล้ว  a   c
(2) สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้าa    b แล้ว a+c     b  +c
(3) สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันที่น้อยกว่าศูนย์
ถ้า a     และ c      0  แล้ว ac    bc
(5) สมบัติการตัดต่อออกสำหรับการบวก
 ถ้า a+ b    b+c แล้ว a   b
(6) สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
ถ้า ac   bc c  และ c    0  แล้ว  a      b
ถ้า ac    bc   และ c     0 แล้ว a    b
NOTE
    สมบัติการคูณด้วยจำนวนลบและการหารด้วยจำนวนลบจะทำให้เครื่องหมายของอสมการเปลี่ยปลงไป  ดังนี้
1.          เปลี่นเป็น             เช่น 2      1  คูณด้วย  -1 จะได้ (-1)(2)    (-1)(1)
2.             เปลี่ยเป็น              เช่น ให้ a     10   คูณด้วย -1 จะได้ (-1)(a)    (-1)(10)
3.           เปลี่ยนเป็น           เช่น ให้ -1    1  คูณด้วย -1  จะได้(-1)(-1)       (-1)(1)
4.           เปลี่ยนเป็น          เช่น ให้  a    5 คูณด้วย  จะได้ (-1)(a)         (-1)(5)


NOTE
ช่วงของจำนวนจริงและการแก้สมการตัวแปรเดียว  ให้  ,,เป็นจำนวนจริง และ  a    b
ช่วงเปิด  ( a ,) หมายถึง { x| a  <  x     b}



ช่วงปิด [a, b] หมายถึง {x | a _ x _b }



ช่วงครึ่งปิด (,b] หมายถึง {x | a   x   b}



ช่วงตครึ่งเปิด [ a, b) หมายถึง {x | a x     b}



ช่วง (,b  ) หมายถึง {x | x  > a}



ช่ง [ ,   ) หมายถึง {x | x _ a}




ช่วง (-   ,  a ]หมายถึง {x | x _ a}



ช่วง (-    -    ) หมายถึง {x | x      R}



2. การแก้สมการกำลังสองตัวแปร
เช่น  P(x)     0 , P(x)      0 , P(x)     0 หรือ P(5)     0
ให้ (x(x-a) (x- b) โดยที่ a    b


P(x)      0 เมื่อ  x     a เมื่อ  x      b
P(x)      0 เมื่อ a    x       b
P(x)  = 0 เมื่อ x= a หรือ x = b
เซตคำตอบของสมการ P(x)      0 คือ (-   ,a)     (    )
เซตคำตอบของสมการ P(x)      0 คือ (,b)

4.5 ค่าสมบูรณ์ของจำนวนจริง
ค่าสมบูรณ์ของจำวนจริง a : เมื่อกำหนดให้ เป็นจำนวนจริงระยะจากจุด 0 ถึงจุดที่แทนที่จำนวนจริง เขียนแทนด้วย |a|
         เช่น  |2| หมายถึง ระยะจากจุด 0 ถึงจุดที่แทนจำนวน 2 ซึ่งเท่ากับ 2 หน่วย
                 |-2| หมายถึง ระยะจุด 0 ถึงจุดที่แทนจำนวน -2 ซึ่งเท่ากับ
สรุปเป็นกรณีทั่วไป เมื่อ เป็นจำนวนจริงใดๆ ไดดังนี้



|a|  = a เมื่อ     0
     = a เมื่อ a =  0
     =  -a เมื่อ a    0
สมบัติของค่าสัมบูรณ์
ให้ เป้นจำนวนจริงใด ๆ
1.            |x| _ 0 เสมอทุกค่าของจำนวนจริง x
2.            |x| = |-x|
3.            x  = |x|
4.            |x|² = |x| = x
5.            |xy| = |x|  |y|
6.            | x| = |x| เมื่อ y = 0
7.            |x+y|  _ |x| + |y|
8.            |x-y| = |y-x|
9.            ถ้า x = y แล้ว |x| = |y|
10.     ถ้า |x| = |y| แล้ว x= y หรือ x-y
11.    ถ้า |x|    |y| แล้ว x   y
12.    ถ้า เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
1)  |x|     a มีความหมายเช่นเดียวกับ a     x     a
) |x| _  a มีความหมายเช่นเดียวกับ –a  _  x  _  a
3)  |x|      a มีความหมายเช่นเดียวกับx      -a หรือ x     a
4)  |x|  _ a มีความหมายเช่นเดียวกับ x _ - a หรือ x  _  a


ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น